© Grigori TOMSKI
On sait que la théorie des jeux a d’abord été
l’étude des jeux de société. L’ensemble des propositions
géométriques sur le JIPTO ( [1-2], www.jipto.com) et des autres
jeux de poursuite présente une extension intéressante de la
géométrie classique [3]. La découverte de l’existence d’un
domaine de recherches mathématiques à la portée des élèves des
lycées et des collèges à l’époque de la très grande
professionnalisation des recherches mathématiques est inattendue et
doit être intéressante pour tous les spécialistes de
l’enseignement et de la vulgarisation des mathématiques.
Rappelons que les trois principaux postulats de la
géométrie d’Euclide décrivant l’utilisation d’une règle et
du compas idéaux:
1. De tout point à tout autre point, on peut tracer un
segment de droite avec ces points comme extrémités.
2. Tout segment de droite peut être prolongé
indéfiniment et continûment.
3. Etant donné un point, on peut décrire un cercle de
rayon quelconque avec comme centre ce point.
Pour Euclide les segments et les cercles constituent
ainsi des objets de base, il introduit ensuite et étudie des figures
rectilignes contenues par des lignes brisées, composées des
segments : triangles, quadrilatères et multilatères ; ainsi que des
cercles tangents et qui se coupent.
Dans la géométrie de la poursuite, on étudie les
trajectoires des «poursuivants» et des «fugitifs» qui sont des
lignes brisées ou des enchaînement de plusieurs cercles tangents.
On définie en termes géométriques les stratégies ce
qui constituent la particularité de la géométrie de la poursuite.
Par exemple, les différentes stratégies du «poursuivant» P
décrivent les règles de construction (avec une règle et un compas
idéaux) de la trajectoire de P en fonction du déroulement de la
construction de la trajectoire du «fugitif» (ou des «fugitifs»
et, éventuellement, des autres «poursuivants», s’ils existent).
Ainsi dans la géométrie élémentaire de la poursuite,
nous considérons les trajectoires qui sont, en fait, des objets de
géométrie classiques : les lignes brisées, les enchaînements des
cercles tangents, etc. Mais nous ajoutons aux transformations et
relations de la géométrie classique (rotation, similitude, etc.)
l’infinité des transformations et des relations, générées par
les différentes stratégies. Ces stratégies sont les algorithmes
définis en termes géométriques.
On évalue ensuite les résultats garantis par les
stratégies étudiées d’après les différents critères. Par
exemple, dans les jeux de capture rapide, on compare les longueurs
des trajectoires du «poursuivant» jusqu’au moment de la capture.
Dans les jeux avec la «ligne de la vie», on vérifie si toutes les
trajectoires du «fugitif» , correspondantes à sa stratégie
étudiée, atteignent cette ligne. Cela constitue un gisement
abondant de nouveaux sujets de recherches géométriques.
Ces recherches peuvent être effectuées même sans
aucune connaissance des autres domaines des mathématiques sauf la
géométrie élémentaire classique.
En effet, notre livre [3] montre bien qu’il suffit de
connaître les éléments de la géométrie élémentaire classique
pour commencer au collège ou au lycée de vraies recherches
mathématiques ce qui doit être intéressant pour tous les enfants
doués en mathématiques, leurs parents et enseignants. C’est
pourquoi, pour ces enfants et pour tous les amateurs des
mathématiques, nous avons formulé les problèmes de la théorie des
JIPTO mathématiques :
Problème du «poursuivant». Trouver une
stratégie du «poursuivant» qui lui garantit un résultat
convenable.
Problème des «fugitifs». Trouver une stratégie
des «fugitifs» qui leur garantit un résultat convenable.
Notons que, dans notre classement officiel, nous avons
décrit 2480 versions principales du JIPTO.
L’initiation à la géométrie donne l’accès le
plus facile à l’acquisition de la culture mathématique. Nous
évaluons la culture mathématique chez un individu de la façon
suivante :
Niveau initial : on commence à comprendre la
notion de mathématisation;
Niveau moyen : on acquiert un savoir mathématique
qui peut aller du savoir très élémentaire jusqu’à la
connaissance des théories mathématiques complexes ;
Niveau supérieur : on est capable de créer du
nouveau savoir mathématique.
Nos critères classent parmi les personnes avec la
culture mathématique du niveau supérieur les grands mathématiciens
de l’Antiquité.
On peut diviser le niveau moyen en quelques niveaux
d’après les critères supplémentaires, par exemple, le critère
de l’ingéniosité :
Le niveau moyen ordinaire :
on sait résoudre des problèmes mathématiques qui ne réclament pas
de l’ingéniosité ;
Le niveau moyen avancé : on est capable
facilement de reproduire les démonstrations des théorèmes étudiés
et de proposer des solutions ingénieuses à des problèmes déjà
résolus par les autres.
On peut subdiviser chacun de ces deux niveaux d’après
le critère du savoir mathématique acquis : le niveau moyen avancé
de l’école élémentaire (du collège, du lycée, de l’université,
ou par classe).
L’étude plus de la géométrie élémentaire permet
d’accéder à la culture mathématique du niveau moyen. La
modélisation mathématique des versions du JIPTO et l’initiation à
la théorie géométrique de la poursuite donne de multiples
possibilités d’apprendre à créer du nouveau savoir mathématique
et d’accéder ainsi à la culture mathématique du niveau
supérieur.
Références
- G.Tomski, JIPTO : 1001 jeux pour tous, JIPTO international, 2002.
- G.Tomski, Art du JIPTO, JIPTO international, 2002.
- G.Tomski, Géométrie élémentaire de la poursuite, JIPTO international, 2004.
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